在工伤私了的背景下，可以要求公司赔偿的项目包括：

治疗工伤的医疗费用和康复费用：这些费用包括治疗工伤所需费用，以及工伤职工到签订服务协议的医疗机构进行工伤康复的费用。如果治疗费用超出了工伤保险诊疗项目目录、药品目录、住院服务标准的范围，通常由工伤职工承担1。

住院伙食补助费：工伤职工住院治疗工伤期间的伙食补助费，具体标准由统筹地区人民政府规定1。

到统筹地区以外就医的交通食宿费：工伤职工到统筹地区以外就医所需的交通、食宿费用，具体标准由统筹地区人民政府规定1。

安装配置伤残辅助器具所需费用：工伤职工因日常生活或就业需要，经劳动能力鉴定委员会确认，可以安装假肢、矫形器、假眼、假牙和配置轮椅等辅助器具，所需费用按照国家规定的标准从工伤保险基金支付1。

生活不能自理的，经劳动能力鉴定委员会确认的生活护理费：工伤职工已经评定伤残等级并经劳动能力鉴定委员会确认需要生活护理的，从工伤保险基金按月支付生活护理费1。

一次性伤残补助金：职工因工致残被鉴定为一级至十级伤残的，由工伤保险基金支付一次性伤残补助金，具体标准依据《工伤保险条例》第三十五条、第三十六条、第三十七条规定1。

一次性工伤医疗补助金：在某些情况下，由社保支付给伤者，也有些地区规定该项赔偿由企业支付给伤者2。

一次性伤残就业补助金：由企业支付给伤者2。

一次性工亡补助金：如果职工因工死亡，其遗属可以领取的丧葬补助金、供养亲属抚恤金和因工死亡补助金2。

劳动能力鉴定费：在工伤鉴定过程中产生的费用2。

需要注意的是，具体的赔偿金额和项目可能因地区和具体情况而有所不同，因此在私了时应当咨询专业法律人士，确保自己的权益得到合理保障。