下面是三角换元万能公式的推导过程：

首先，我们定义三个基本的三角函数：正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。然后，我们将这些函数与它们的半角（α/2）表示联系起来。

1. 正弦函数的半角公式：

sin(α/2) = ±√[(1 - cosα) / 2]

这个公式可以通过正弦和余弦的关系推导出来。

2. 余弦函数的半角公式：

cos(α/2) = ±√[(1 + cosα) / 2]

这个公式也可以通过余弦和正弦的关系推导出来。

3. 正切函数的半角公式：

tan(α/2) = ±√[(1 - cosα) / (1 + cosα)]

这个公式可以通过正切与正弦和余弦的关系推导出来。

接下来，我们使用这些半角公式来推导三角换元万能公式。

1. 正弦函数的万能公式：

sinα = 2sin(α/2)cos(α/2)

将半角公式代入，得到：

sinα = 2 * ±√[(1 - cosα) / 2] * ±√[(1 + cosα) / 2]

化简后得到：

sinα = ±√[(1 - cos^2α) / (1 + cosα)]

进一步化简，得到：

sinα = ±√[sin^2α / (1 + cosα)]

由于sinα在实数范围内有唯一值，所以取正号，得到：

sinα = √[(sin^2α) / (1 + cosα)]

2. 余弦函数的万能公式：

cosα = cos^2(α/2) - sin^2(α/2)

将半角公式代入，得到：

cosα = (±√[(1 + cosα) / 2])^2 - (±√[(1 - cosα) / 2])^2

化简后得到：

cosα = (1 + cosα) / 2 - (1 - cosα) / 2

进一步化简，得到：

cosα = cosα

这个公式是显然成立的。

3. 正切函数的万能公式：

tanα = sinα / cosα

将正弦和余弦的万能公式代入，得到：

tanα = ±√[(sin^2α) / (1 + cosα)] / cosα

化简后得到：

tanα = ±√[(sin^2α) / (cos^2α + cosα)]

进一步化简，得到：

tanα = ±√[(1 - cos^2α) / (cos^2α + cosα)]

由于tanα在实数范围内有唯一值，所以取正号，得到：

tanα = √[(1 - cos^2α) / (cos^2α + cosα)]

以上就是三角换元万能公式的推导过程。这些公式在三角函数的计算和证明中非常有用，它们可以将所有三角函数都化成只有tan(α/2)的多项式，从而简化计算过程。